2017年3月18日 | 大人のための家庭教師ブログ

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前回は、虚数と実数が一つの平面で表すことができる、というのと、角度を使うと、三角関数だけでなく、指数関数だけで、虚数と実数をいっぺんに表せるというのが分かりました。

この前の例では、角度が単位円上で $\frac{\pi}{2}$ であれば、上の図でわかるように、 $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ 、になります。

では、虚数の虚数乗はどうなるでしょうか？つまり、 $i^i$ 、ですね。普通に考えれば、「これって計算できるの？」となりますが、上の結果を使うと、 $i^i = (e^{i\frac{\pi}{2}})^i$ 、となります。

$i \times i$ 、はー１ですから、 $i^i = (e^{i\frac{\pi}{2}})^i=e^{-\frac{\pi}{2}}$ 、となります。

これを特殊な計算機で計算すると、0.2078795…という数値になります。 $i^i$ 、の結果は実数になってしまいました。

昔、大学生の頃、物理数学の講義で教授が虚数の「i」を「愛」と見立てて、愛の愛乗（つまり、過剰な愛情）は、愛にはあらず、という冗談を言っていました。

実際の数学でも、iのi乗にはiが付かないことから、上の格言が正しいと証明されたようです。（笑）

日: 2017年3月18日