大人のための家庭教師　ブログ

中学や高校で習う代数は覚えているでしょうか。 という方程式を について解きなさい、というやつですね。

左辺の１を右辺に移項して、。したがって、 となります。

これは簡単ですね。分数が入ったりするバージョンもありますが、基本は同じです。

では少し、すすめて、こんなのはどうでしょうか、？ A とB はそれぞれ、ある定数です。

これは、右辺の立方根をとることになるので、 がｘについての解です。

ここまでくると、高校のレベルを超えていることになるでしょうか。次も「大人」レベルですが、 はどうでしょうか？

つまり、サインという関数の中にｘが入ってしまっている状態ですね。これだと、割ったり引いたりでは、ｘが出てきません。

そこで、「逆関数」を演算するという方法を取ります。逆関数は関数の逆、つまり、逆関数 関数＝１という定義です。まぁ、数と逆数の関係のような感じです。

サインの逆関数はアークサインと言います。 などと書きます。教科書によっては、 とも表現しています。

そうすると、上の問題は、 が答えです。このように、関数同士の演算方法がわかれば、ほとんどの方程式でｘについて解けると思います。

では、これはどうでしょうか？。簡単な式ですよね。さっきの応用のようにタンジェントの逆関数を使ってみましょう。

になります。さぁ、どうでしょう？あれ、まだｘがアークタンジェントの中に入ってますね。

お気づきでしょうが、この場合、代数的にｘを表現することはできません。これを「超越方程式」といいます。すべての超越方程式が代数的に解けないわけではないですが、このようになってしまうことが多いのは事実です。

どうやって解くのかと言いますと、「泥臭い」ですが、数値を変えながら、両辺がイコールになるように試行錯誤していきます。

実は、こういう方程式は物理の場でも見かけます。 は、量子力学の基本的な問題を解く時に出てきます。

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自分が高校で数学や物理を学んでいた際、それらの「結びつき」だとか、「関連性」、「考え方」などという、背後に関する話が全くと言っていいほど、教えられていなかったように思えます。

今回は、数学と物理がどう結びつくかを、簡単に説明したいと思います。全て説明しようとすると、混乱するので、かいつまんで、「どう結びつくか」だけに焦点を絞りたいと思います。

量子力学というのを聞いたことがあると思います。電子などの小さなものの運動を表現する物理の理論です。

この現象が発見され始めた時は、今までの物理と違う結果が多くて、物理学者は混乱していました。

当然、今までの理論は使えないということで、実際の実験結果をもとに、どうやって、そのルールを見出して、定式化するかに尽力しました。

そこで、わかったのが、ある物理量を求める実験をAとします。関連した他の物理量の実験をBとします。Aを求めた後、Bを求める場合と、Bを求めた後、Aを求めた場合の結果が違うことが分かりました。

一般的な力学、つまり、ニュートン等が提唱した方法論では、AとBを逆にしても同じ実験結果が得られるはずです。

ここで、高校までの数学を思い出してほしいのですが、普通の代数では、A掛けるBは、B掛けるAと同じ答えです。つまり、ニュートン力学です。

しかし、行列を使うと、行列A掛ける行列Bは、行列B掛ける行列Aと必ずしも同じにはなりません。まさに、量子力学です。

そこで、当時のある物理学者は、行列を使って量子力学を表現し、成功しました。

物理には、自然への働きかけと、その反応から、どのような論理（数学）で表現され、その理論によって予測ができるかどうかを吟味する側面もあるということを分かっていただけるとありがたいです。

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（専門家へ：ここでの量子論の説明は、かなり単純化したことをご了承ください）

現代人にとっては、年をめされた方でも、物心ついた時から、ラジオがあって、電気が空間を伝わることが当たり前でした。

もちろん、当時の人は、ラジオを見せられて、その中に人が入っていると思ったでしょう。

今では、もっと当たり前になってます。例えば、リモコンでチャンネル変えたりDVDを操作したり。電話も、外で、どこででもかけることができます。

しかし、この電磁波というものは、今から約150年前には、信じられなかったことなのです。

電荷や磁荷が発見され、その性質を、多くの科学者が研究して、定式化してきました。電気そのものの発見は、BC600年くらいでかなり古いのですが、物理学的に定式化し始めたのは、1800年代でした。

電磁気というのは、意外と複雑で、電気、磁気が、かかわりあった力などもあったり、電流が磁気を作ったりします。

それぞれの性質を定式化した人たちは、何人かいて、約９つの法則が電磁気に関する物理の公式となりました。

ここで、マックスウェルという数理物理学者が、上の法則を4つの方程式に集約します。

数学的には「ベクトル解析」というもので理解できますが、この数学は、大学で初めて習う数学です。

詳しい内容は、ここでは言いませんが（もし必要ならば、連絡ください）、マックスウェルは、その方程式が数学的に首尾一貫するには、電磁気が空間を伝わることができると結論付けました。

もちろん、当時の人たちには、信じられなかったと思います。

しばらくして、ヘルツという大学の実験の講師をしていた人が、実験の授業中に次のことに気づきました。

「あるテーブルで、電気の放電が起こると、他のテーブルに伝搬しているようだ」、と。

ここで、ヘルツは、マックスウェルの予言を思い出し、実験的に電磁波が存在することを証明しました。

これが、電磁波の「はじめて物語」です。当時はノーベル賞は、なかったので大々的に評価はされなかったようですが、現代のテクノロジーで最もよく使われているものの一つではないでしょうか。

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物理は最も基礎的な科学で、そこから応用されているのが工学（エンジニアリング）と理解されているとおもいます。

もちろん、大部分はそうなのですが、たまに、工学分野で発展し始めた話題を、科学的に見ることによって、新しい物理の分野になった物もあります。

それが、熱力学です。そもそも、エンジニアが蒸気機関車などのエンジンの機関を研究することから始まりました。

もちろん、物理は関係なく、いかに熱を効率的に仕事に変えていくかが問題でした。

その後、科学者が、よくよく考えたら、熱と仕事の理論ってないんじゃないの、ということで、急遽、このエンジンの研究から熱物理が作られました。

熱というものを、エネルギーと仕事と一緒にうまくつなぐことで一つの物理理論ができていきました。

仕事というのは、物理では、力 距離と定義されます。外部の力によって、どれだけの距離を動かしたかが、物理における仕事で、エネルギーと同じ単位を持ちます。

熱力学でも仕事がありますが、圧力 体積という表現になります。（数学が得意な方は、これが力 距離と同じであることは、すぐに証明できるでしょう）

もちろん、エンジンの熱から来る圧力と、どれくらいの体積をピストンが動いたか、ということです。

このような定式化から、もっと基礎的にエンジンの働きなどが見えてきた、というのが熱力学の始まりです。

よく、物理学者とエンジニアは互いに、からかったりしています。（僕はしませんが）物理学者は、物理の方が工学よりも崇高な学問だ、とか。工学は物理よりも人類に直接的に役に立つものを作っている、などなど。

この例でもそうですが、互いに持ちつ持たれつ、なんですけどね。本当は。（笑）

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ニュートンで有名な万有引力の法則ですが、ひじょうに弱い力であって、関連する数値を実験で求めるのが一番難しいというのは、ご存じでしょうか。

そもそも、この法則は、質量と質量が引き合うというものです。もちろん、人間同士も重力によって引っ張り合うのは理屈上、正しいのですが、あまりに弱すぎるので、ほとんど影響ありません。

いかに弱いか、ですが。。。例えば無重力状態で、200㎏の二人が10メートル離れているとします。

彼らが、彼らの重力だけで引き合うとして、どれくらいの時間でハグできると思いますか？大体、36時間かかります。たったの10メートルを引き合うのに地球の時間で約1日半かかるというくらい、弱い力なのです。

ここで、少し数式を持ち出したいのですが、嫌いな人は、ここは飛ばしてもいいです。

先ほども言いましたが、質量 と 質量 の間に力が働くのが引力の法則です。つまり、力は質量に比例します。一方、距離が離れていれば、およぼす力は弱くなります。引力は、距離の２乗に反比例します。

つまり、引力を として、 というように定式化されます。質量に比例して、距離の二乗に反比例です。ところで、 ですが、これは、力のスケールを決める数値で、万有引力定数と言います。

重力はひじょうに弱いことから、その定数も小さいということが予測されます。概算でも小数点以下に１０個もゼロが並ぶくらい小さいのです。

ということで、ニュートンが、発見してから、その定数を実験的に求めるのに１００年かかりました。キャベンディッシュという人なんですが、彼が、質量と質量が引っ張り合ってできた「ねじれ」を使って、測定に成功しました。

当時の値が で、今から２２０年ほど前です。

実は、現在の精度でも、６桁くらいしか「確か」でないのは、この定数くらいです。ある意味、大変な実験なのです。。。

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Photo credit: NASA Goddard Photo and Video via VisualHunt / CC BY（写真は月の重力マップです。）